e1..em линейно зависимы если сущ. набор чисел A_1…. A_m, что хотябо одно из них не <>0 то A_1e1+..+A_mеm=0 И лин. не зависимы в противном случае.
Т. Если ранг матрицы А равен r, то в этой матрице найдутся r линейно не зависимых строк (столбцов) и каждая строка (столбец) данной матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации строк (столбцов).
Док-во: Пусть:
(a11…a1n)
A= (…………)
(am1….amn)
r(A)=r
Пусть минор М расположен в строках i1..ir и столбцах j1..jТ отличных от 0. Покажем что эти строки i1..ir матрицы А линейно не зависимы. Предположим что эти строки линейно зависимы
ei1=(ai1..ain)
eir=(air1..airn)
т.е. найдутся k1..kr, что выполн. условие k1ei1+..+kreir=0 => поскольку строки минора М явл. частью матр. А, то это равенство будет справедливо и для строк определителя М, т.е. i=1 сумма r ki*eir=0. Поскольку строки лин. зависимы то одна из них явл. лин. комб. остальных: Е 1<=s<=n, что ki<>0
2 Покажем что любая строка матр. А явл линейной комбинацией данной системы строк: ek=(ak1…akn) k не принадл. {i1…in} 1<=j<=n. Минор М’ получится путём добавления строки с номером k и столбца с номером j. M’ – минор (r+1) порядка => M’=0
M’=ai1j*A’i1+ai2j*A’i2j…+aikj*A’kj
.. A’kj – алг. дополнения – не зависят от номера j но зависят от k
A_’1*ai1j+…+A_’r*airj..=0, где все A_’ зависят только от k
Если j совпадёт с одним из индексов j1…jr то равенство будет справедливо в силу того что миноре М’ будут 2 одинаковых столбца.
A_’r+1=M<>0 => A’kj=(-1)^((r+1)+(r+1))+M; akj=A_1*ai1j+..+A_r*airj => ek=..A_r*air, т.к. придавая индексу j все значения от 1 до n мы получим что каждый элемент строки k явл. линейной комбинацией соотв. Эл. данных r строчек. ЧТД.
Опубликовал Kest
January 26 2011 21:26:25 ·
0 Комментариев ·
2854 Прочтений ·
Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.
Пожалуйста, залогиньтесь или зарегистрируйтесь для голосования.
Нет данных для оценки.
Гость
Вы не зарегистрированны? Нажмите здесь для регистрации.
